你好！很高兴你选择了第2章 2.4.3 节 泊松分布 (Poisson Distribution)。这是一个非常优美且在实际应用（如排队论、保险精算）中极其重要的分布。
我们将按照教科书 的结构，结合 的课件内容，以及 中的考点来进行学习。
学习目标：
- 理解泊松分布的物理模型（稀有事件）。
- 记住泊松分布的分布律公式。
- 关键点：掌握其期望和方差的特殊性质（E[X]=D[X]=λ）。
- 学会用泊松分布近似计算二项分布（泊松定理）。
直觉 (Intuition)：
想象你在钓鱼。你不知道下一条鱼具体几分几秒上钩，但你知道这片水域平均每小时能钓到 λ 条鱼。
- λ (Lambda) 是强度 (Intensity) 或 平均发生率。它代表了单位时间（或单位面积、单位体积）内事件发生的平均次数。
- 泊松分布主要描述稀有事件。比如，一本书一页上的错别字数、一天内发生严重交通事故的次数。虽然具体发生多少次是随机的，但它围绕着均值 λ 波动。
依据教科书，我们给出严格定义：
1. 定义
若随机变量 X 的概率分布律为：
P(X=k)=k!λke−λ,k=0,1,2,⋯
其中参数 λ>0，则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记作 X∼P(λ) (或 X∼π(λ))。
- 注意：k 取值是 0,1,2,… 无穷列，但 k 很大时概率迅速趋向于 0。
2. 数字特征 (考试核心)
泊松分布有一个非常独特的性质，它的期望和方差相等，且都等于参数 λ。
E[X]=λ
D[X]=λ
(推导过程在课本 2.4.3节中利用了级数展开，如果你感兴趣我们可以展开讲，但考试通常直接应用结论)
3. 泊松定理 (二项分布的近似)
当 n 很大，p 很小，且 np=λ (适中) 时，二项分布 B(n,p) 可以用泊松分布 P(λ) 近似：
(kn)pk(1−p)n−k≈k!λke−λ
这解释了为什么“大量重复试验中的稀有事件”服从泊松分布。
根据你上传的 浙江财经大学2023年期末试卷，我发现了关于泊松分布的真题。
考试趋势分析：
- 直接计算概率：代入公式求解 P(X=k)。
- 利用期望和方差的性质反求参数：这是高频考点。
- 结合期望公式的变形：考察你对 E[g(X)] 的理解。
真题重现 (填空题第4题)：
"若随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，已知 E[(X−1)(X−2)]=1，则 λ= ______"
这道题非常经典，它不直接考你 E[X]，而是考 E[X2] 与 D[X] 的关系。
教授时间到！为了确保你掌握了这个考点，我们来一起解决上面那道真题。
请不要直接通过计算器求值，请跟随我的引导思考：
问题： 已知 X∼P(λ)，且 E[(X−1)(X−2)]=1。
步骤 1：
首先，我们需要展开期望里的式子。
请告诉我，(X−1)(X−2) 展开后是什么？利用期望的线性性质 E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]，你能把方程 E[(X−1)(X−2)]=1 写成包含 E[X2] 和 E[X] 的形式吗？
请写出你变形后的方程。